Откуда берётся n − 1 в выборочной дисперсии
Σ(x − μ)² = Σ(x − x̄)² + n·(x̄ − μ)². В среднем последнее слагаемое съедает ровно одну σ², поэтому Σ(x − x̄)² ≈ (n − 1)σ².
1. Одна выборка из генеральной совокупности с μ = 0 и σ² = 100
μ (истинное среднее)x̄ (выборочное среднее)кривая: Σ(x − c)²/n для любой точки отсчёта c, минимум всегда в x̄
Выборок
Среднее при /n
Среднее при /(n−1)
Ожидаемо при /n
2. Как меняется средняя оценка дисперсии с ростом числа выборок
Σ(x − x̄)²/nΣ(x − x̄)²/(n−1)Σ(x − μ)²/n (если бы знали μ)пунктир: истинная σ² = 100
Отклонения от x̄ в сумме всегда равны нулю, поэтому свободно меняться могут только n − 1 из них: это и есть степени свободы. Если бы μ было известно, делили бы на n (зелёная линия).