Корреляция Пирсона как среднее произведение z-оценок

r = Σ zₓ·z_y / (n − 1). Максимум равен 1, потому что Σzₓ² = Σz_y² = n − 1 всегда, а сумма произведений не может превысить этот «бюджет».

Связь в популяции ρ

прямоугольники

Σ zₓ·z_y

Σ zₓ² (всегда n−1)

r = Σ zₓz_y / (n−1)

макс. |zₓ·z_y|

1. Точки в z-оценках: площадь прямоугольника от нуля до точки = произведение zₓ·z_y

положительное произведение (I и III)отрицательное (II и IV)

2. Все произведения по убыванию; линия — их среднее с делением на n−1, то есть r

Если y = x, то каждое произведение равно zₓ², сумма равна n − 1 и r = 1. Любое несовпадение пар уменьшает сумму. Геометрически r — косинус угла между векторами центрированных x и y. Пунктирная линия на диаграмме — линия регрессии в z-оценках: её наклон равен r (это и есть стандартизованная бета).